游戏中的洗符石问题

问题描述

《幻唐志》中的宠物符石系统是一个数学逻辑很复杂的概率系统。

宠物符石共三组，每组两个，共六个符石。每次洗练可以重置其中一组，并从本次洗出的候选符石中自选 2 个替换原来的两个符石。

符石的属性由“颜色”和“字”组成：

• 颜色：五种五行，共 5 种；
• 字：八卦字 8 种，外加“无字”1 种，共 9 种。

因此候选石的总组合数为：

$$5\times 9=45$$

本文要求最终三组符石都成为“同色同字”，且不允许无字。也就是说，有效目标组合只有：

$$5\times 8=40$$

种。

每次洗练时，出现的候选石数量的原始概率为：50%几率出现2个候选石，35%几率出现3个候选石，10%几率出现4个候选石，5%几率出现5个候选石。

但存在保底机制：

• 若连续 9 次没有出至少 4 个候选石，则第 10 次必出至少 4 个；
• 若连续 19 次没有出 5 个候选石，则第 20 次必出 5 个。

我们的目标是计算完成三组同色同字所需洗练次数的数学期望。

出石数量 $N$ 的稳态分布

状态定义

定义状态：

$$(a,b)$$

其中：

• $a$：连续未出至少 4 个候选石的次数；
• $b$：连续未出 5 个候选石的次数。

显然：

$$0\le a\le 9,\qquad 0\le b\le 19$$

状态总数为：

$$10\times 20=200$$

每洗一次，状态发生转移。转移规则为：

若本次洗出 $n$ 个候选石：

• 若 $n\ge 4$，则 $a$ 重置为 0；否则 $a$ 加 1；
• 若 $n=5$，则 $b$ 重置为 0；否则 $b$ 加 1。

同时，当 $a=9$ 且 $b<19$ 时，本次出石数量强制为：

$$P(N=4)=\frac23,\qquad P(N=5)=\frac13$$

当 $b=19$ 时，本次强制为：

$$P(N=5)=1$$

否则按原始概率分布。

平稳分布求解

由于状态空间有限且不可约，该马尔可夫链存在唯一平稳分布 $\pi(a,b)$，满足：

$$\pi = \pi \mathbf P$$

其中 $\mathbf P$ 是 $200\times 200$ 的状态转移矩阵。

该方程可以通过数值方法精确求解。解出平稳分布后，可得到出石数量 $N$ 的边际分布：

$$q_n=P(N=n)=\sum_{\substack{a,b\\ \text{状态}(a,b)\text{下本次出}n}}\pi(a,b)$$

数值结果如下：

$n$	$q_n$
2	0.4776
3	0.3343
4	0.1090
5	0.0791

可见，保底机制使 5 石概率从原始 5% 提升到约 7.9%，2 石概率从 50% 下降到约 47.8%。

单次洗练成功概率

3.1 固定目标组合的成功概率

当第一组已经锁定某个目标组合 $c$ 后，后续两组都必须洗出至少两个 $c$。

单个候选石恰好是 $c$ 的概率为：

$$\frac{1}{45}$$

若某次洗出 $n$ 个候选石，令 $X$ 表示其中组合 $c$ 的个数，则：

$$X\sim \mathrm{Binomial}\left(n,\frac{1}{45}\right)$$

成功条件为：

$$X\ge 2$$

因此：

$$P_2^{(n)}=P(X\ge 2)$$

$$P_2^{(n)} = 1-\left(\frac{44}{45}\right)^n - n\cdot\frac{1}{45}\left(\frac{44}{45}\right)^{n-1}$$

利用出石数量的稳态分布 $q_n$，得到锁定目标后单次洗练成功概率：

$$p_2=\sum_{n=2}^{5}q_n P_2^{(n)}$$

代入数值：

$$p_2\approx 1.43\times 10^{-3}$$

即约 0.143%。

第一组任意有效组合的成功概率

第一组尚未锁定具体组合，只要本次洗出的候选石中存在某一种非无字组合出现至少两次，即可成功锁定目标。

有效组合共有 40 种，无字组合有 5 种。

设某次洗出 $n$ 个候选石，令 $Y$ 表示其中属于有效组合的个数。

由于每个候选石属于有效组合的概率为：

$$\frac{40}{45}=\frac89$$

所以：

$$Y\sim \mathrm{Binomial}\left(n,\frac89\right)$$

给定 $Y=k$ 时，这 $k$ 个有效组合均匀分布在 40 种具体组合上。

若这 $k$ 个有效组合全部互不相同，则没有任意一个有效组合出现至少两次，洗练失败。

因此，给定 $k\ge 2$ 时，成功的条件概率为：

$$P(\text{成功}\mid n,k) = 1-\frac{(40)_k}{40^k}$$

其中：

$$(40)_k=40\cdot 39\cdot 38\cdots(40-k+1)$$

是降阶乘。

对于 $k=0$ 或 $k=1$，显然成功概率为 0。

所以：

$$P_1^{(n)} = \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac89\right)^k \left(\frac19\right)^{n-k} \left[ 1-\frac{(40)_k}{40^k} \right]$$

则第一组单次洗练成功概率为：

$$p_1=\sum_{n=2}^{5}q_n P_1^{(n)}$$

代入数值：

$$p_1\approx 5.57\times 10^{-2}$$

即约 5.57%。

总期望次数

完成三组需要：

1. 第一组洗出任意同色同字非无字组合，锁定目标；
2. 第二组洗出与第一组相同的组合；
3. 第三组洗出与第一组相同的组合。

每次洗练相互独立，且每次只影响当前组。

因此第一组所需次数服从几何分布，期望为：

$$\frac{1}{p_1}$$

锁定目标后，第二组和第三组每次成功概率均为 $p_2$，期望分别为：

$$\frac{1}{p_2}$$

所以总期望次数为：

$$\mathbb E[T] = \frac{1}{p_1} + 2\cdot\frac{1}{p_2}$$

代入数值：

$$p_1\approx 5.57\times 10^{-2}$$

$$p_2\approx 1.43\times 10^{-3}$$

得到：

$$\mathbb E[T] \approx \frac{1}{0.0557} + 2\cdot\frac{1}{0.00143}$$

$$\mathbb E[T] \approx 17.95 + 1398.6 \approx 1416.6$$

因此期望值约为：$1400\sim 1450$

这与模拟程序运行结果 1400～1450 次 基本一致。

这里给出一下模拟程序的示例代码：

package main

import (
	"fmt"
	"math/rand/v2"
	"time"
)

func main() {
	r := rand.New(rand.NewPCG(uint64(time.Now().UnixMilli()), 1))
	var lessThen4, lessThen5 int
	randOne := func() int {
		var count int
		switch {
		case lessThen5 == 19:
			count = 5
		case lessThen4 == 9:
			count = 4
			if r.IntN(3) == 0 {
				count++
			}
		default:
			n := r.IntN(20)
			switch {
			case n < 10:
				count = 2
			case n < 17:
				count = 3
			case n < 19:
				count = 4
			default:
				count = 5
			}
		}
		switch count {
		case 5:
			lessThen5 = 0
			lessThen4 = 0
		case 4:
			lessThen5++
			lessThen4 = 0
		default:
			lessThen5++
			lessThen4++
		}
		result := make([]int, count)
		for i := range count {
			v := r.IntN(45)
			if v < 5 {
				continue
			}
			for j := range i {
				if result[j] == v {
					return v
				}
			}
			result[i] = v
		}
		return -1
	}
	result := 0
	for range 100000 {
		var cur int
		for range 3 {
			for {
				result++
				v := randOne()
				if cur == 0 {
					if v > 0 {
						cur = v
						break
					}
				} else if v == cur {
					break
				}
			}
		}
	}
	fmt.Println(float64(result) / 100000)
}

结论

在考虑保底机制后，完成三组同色同字非无字宠物符石所需的洗练次数期望约为：

$$\mathbb E[T]\approx 1.42\times 10^3$$

即大约 1420 次。

实际游戏中考虑到波动，体感通常会在 1400～1600 次 之间。