五局三胜问题

奇葩的灵梦2019/8/29大约 2 分钟

有这样一个问题：

甲乙两人进行五局三胜的比赛，假设两人实力相当，每一局获胜的概率相同。现在第一局已经结束，乙获得了胜利。请问，剩余4局结束后，甲最终获得五局三胜比赛胜利的概率是多少？

其实很简单，剩余4局一共有 $2^4 = 16$ 种可能，直接穷举就可以了。

下图用 ⭕ 表示甲胜，✖️ 表示乙胜：

统计一下：共计16种情况，甲最终获胜的情况有5种，所以甲获胜的概率是 $\dfrac{5}{16}$ 。

接下来，我们再进一步考虑一下：如果甲乙两人实力不相当，例如每一局比赛中，甲获胜的概率是 $\dfrac{2}{3}$ ，乙获胜的概率是 $\dfrac{1}{3}$ 。现在第一局已经结束，乙获得了胜利。那么剩余4局结束后，甲最终获得五局三胜比赛胜利的概率是多少呢？

其实不难，我们依旧观察上面的表格可以得出，这5种甲获胜的情况分别是：甲连胜4局（共一种情况），甲胜3局乙胜1局（共四种情况）。而它们的概率分别是：

甲连胜4局： $\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{16}{81}$
甲胜3局乙胜1局： $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = \dfrac{8}{81}$

因此最终甲获胜的概率是：

\dfrac{16}{81} + 4 \times \dfrac{8}{81} = \dfrac{48}{81} = \dfrac{16}{27}

那我们再换一个题目：如果甲乙两人实力不相当，例如每一局比赛中，甲获胜的概率是 $P$ ，乙获胜的概率是 $1-P$ 。现在第一局已经结束，乙获得了胜利。如果剩余4局结束后，甲乙最终获得五局三胜比赛胜利的概率相同，那么 $P$ 的值是多少呢？

同样很简单，我们按照上面的思路来，可以得到这样一个方程：

P^4 + 4P^3(1-P) = \dfrac{1}{2}

这个方程解起来较为复杂，直接使用牛顿迭代法逐步逼近求解。方程在 $(0, 1)$ 区间的唯一解是 $P \approx 0.614$ ，也就是当甲每局获胜的概率约为61.4%时，剩余四局结束后，甲乙最终赢得五局三胜比赛的概率相同。