直角三角形问题

有这样一个问题：

一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外的水管长7米。若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记在斜边上的概率是多少？

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仔细读一下题目，这道题目可以简化为：已知直角三角形的三边均为整数米，其中一条直角边为7米。在三角形周长上随机任选1个点，该点在斜边上的概率是多少？

一块直角三角形绿地的三边均为整数米，其中一条直角边为7米。根据勾股定理，设另一条直角边为$b$，斜边为$c$，则满足方程：

$$7^2 + b^2 = c^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 - b^2 = 49$$

根据平方差公式可得：

$$(c - b)(c + b) = 49$$

我们对$49$进行正整数的因式分解，只有两种可能：$49=7 \times 7$ 和 $49=1 \times 49$ 。

对于前者，我们有：

$$\begin{cases} c - b = 7 \\ c + b = 7 \end{cases}$$

解得：$c = 7$，$b = 0$，这不符合题意，因为$b$必须为正整数。

对于后者，我们有：

$$\begin{cases} c - b = 1 \\ c + b = 49 \end{cases}$$

解得：$c = 25$，$b = 24$，因此直角三角形的三边分别为7米、24米、25米。

标记在斜边上的概率其实就是斜边长度占总长度的比例：$\dfrac{25}{7+24+25} \approx 0.4464$