跳至主要內容

函数棋

奇葩的灵梦2026/6/5大约 3 分钟数学初等函数

函数棋：https://shaihai.cn/。规则很简单，在直角坐标系上，系统给你一些绿格和红格，用给定的符号（四则运算、乘方、绝对值、sin⁡\sin、cos⁡\cos、tan⁡\tan、x\sqrt x、ln⁡\ln等），构造一个函数，使其穿过所有的绿格，不穿过任何红格。

这个小游戏主要还是锻炼大家的思维能力，所以一般而言，还是应该通过观察、目测、联想的方法去推导出答案。但是，其中不乏有一些离谱的题目，例如绿格被红格团团围住，堪称“无解”。因此，我们可以考虑利用一些“不讲武德”的手段来解决这些问题。

下面，就来推导一下这个“不讲武德”的手段。

我们知道，对于它给出的任何一道题目，无论绿格、红格如何分布，理论上我们都能用分段函数强行表示。就以第一题为例，它是一个左下角在原点的边长为1的正方形绿格，正常来讲，出题者希望我们用 y=xy=x 或者 y=0.5y=0.5 来表示。但我们也不是不可以强行用分段函数来表示：

y={0,x<0.10.5,0.1≤x≤0.90,x>0.9y = \begin{cases} 0, & x < 0.1 \\ 0.5, & 0.1 \le x \le 0.9 \\ 0, & x > 0.9 \end{cases}

特别地，当同一纵列有多个绿块时（也就是同一个x值有多个y值对应的绿块时），我们也可以更加细分多拆几次，例如拆成 0.1<x<0.50.1 \lt x \lt 0.5 和 0.5<x<0.90.5 < x \lt 0.9 两个区间。

而任何有限分段函数（即定义域被分成有限个区间，每个区间上由初等函数定义）都可以用绝对值、四则运算以及初等函数表示成一个不含显式分段的单一表达式。核心在于用绝对值构造 最大值 和 最小值 函数：

  • max⁡(a,b)=a+b+∣a−b∣2\max(a, b) = \dfrac{a + b + |a - b|}{2}
  • min⁡(a,b)=a+b−∣a−b∣2\min(a, b) = \dfrac{a + b - |a - b|}{2}

通过嵌套 max⁡\max 和 min⁡\min，可以实现任意有限个条件分支。例如，一个三段函数：

y={f1(x),x≤af2(x),a<x≤bf3(x),x>by = \begin{cases} f_1(x), & x \le a \\ f_2(x), & a < x \le b \\ f_3(x), & x > b \end{cases}

可以写成：

f(x)=f1(x)⋅Ix≤a+f2(x)⋅Ia<x≤b+f3(x)⋅Ix>bf(x) = f_1(x) \cdot I_{x\le a} + f_2(x) \cdot I_{a<x\le b} + f_3(x) \cdot I_{x>b}

指示函数 Ix≤a=12(1−sgn⁡(x−a))I_{x\le a} = \dfrac{1}{2}\left(1 - \operatorname{sgn}(x-a)\right)，其中 sgn⁡(x)=x∣x∣\operatorname{sgn}(x) = \dfrac{x}{|x|}。

不过需要注意的是，这样得到的表达式在分段点处可能无定义（分母为零）。在函数棋这类游戏中，由于格子是开区间或闭区间，这些奇点往往可以被忽略（因为函数不需要在精确的边界点取值）。

综上，既然任何一道题目可以用分段函数表示，而只要允许使用绝对值，就能构造出所有有限分段函数，因此理论上我们就可以用“暴力破解”的方法解决所有函数棋的问题。