《流浪地球》观后感

引力弹弓效应

看完《流浪地球1》后，有一个问题一直在困扰着我，为什么地球要靠近木星，以至于差点被吸进去，面临电影中那么危险的境遇呢？为什么不选择在木星不在旁边的时机冲出去呢？

这就涉及到了一个天体物理学的知识点：引力弹弓。

我们知道，飞行器想要飞出太阳系，需要加速到第三宇宙速度。但其实更准确来讲，我们需要相对于太阳的速度达到某个速度，就能摆脱太阳引力了。但如果直接加速到这个速度，需要消耗大量的燃料，按照现在地球上的技术是不可能做到的。那么有没有节省燃料的方法呢？

根据开普勒第一定律，行星绕太阳的轨道是椭圆形的，太阳位于椭圆的一个焦点上。入射的行星在接近太阳时会加速，离开太阳时会减速。

整张图是延虚线对称的，当行星位于椭圆的对称位置时，例如图中上半椭圆的点和下半椭圆标记的对应点位时，很显然纵向速度相同，横向速度相反。当然了，这样说有点复杂，我们简单用一句话概括就是：入射速度和出射速度大小相同，且方向近似相反。

考虑到木星的质量是地球的数百倍，和木星相比，地球就像是一个飞行器一样。如果地球绕着木星飞，也应该满足开普勒第一定律。木星本身是绕着太阳公转的，《流浪地球1》中，人类让地球围绕木星转，那么根据上述结论，地球绕木星的入射速度和出射速度大小相同，且方向近似相反。如果让地球绕木星的入射方向和木星绕太阳公转方向近似相反，则出射方向就会与木星绕太阳公转方向近似相同。接下来，就可以这样推理了：

我们令木星绕太阳公转的速率为$|\vec{v_1}|$，地球绕木星的速率为$|\vec{v_2}|$。由于速度是一个向量，需要考虑方向的，同向的速度相加会变大，即$|\vec{v_1}|+|\vec{v_2}|$，而反向的速度相加会变成其差值，即$|\vec{v_1}|-|\vec{v_2}|$。只要我们让入射的时候是反向的，出射的时候变成同向，这样一来，就可以获得不超过$2|\vec{v_2}|$的额外速度。这就叫做引力弹弓效应。《流浪地球1》这部电影主要描述的就是利用引力弹弓效应，借助木星给地球加速的这个过程。

利用引力弹弓效应可以大大节约太空旅行的燃料消耗，这也是为什么《流浪地球》中要冒着那么大的危险靠近木星的原因。

实际上，引力弹弓效应在现实中已经被广泛应用于太空探测器的飞行路径设计中。大家平时听说的“旅行者一号”“旅行者二号”飞出太阳系的过程，其实也是利用了引力弹弓效应。它们在飞出太阳系之前，先后绕过了木星、土星、天王星、海王星，借助这些行星给自己加速。

说句题外话，“旅行者一号”和“旅行者二号”出发前，科学家们精确计算了它们的飞行轨迹，确保它们在飞出太阳系时恰好能够经过木星、土星、天王星、海王星，这和发射时地球、木星、土星、天王星、海王星的相对位置是有关系的。实际上，想要恰好有这么合适的一个相对位置，虽不说是千载难逢，但也不是经常能遇到的。

洛希极限

影片里面还有一个洛希极限的概念。我们用一个不怎么恰当的比方来解释一下：

地球本身是有大小的，并不是一个质点。根据牛顿的万有引力定律，相距越近，引力越大，因此地球靠近木星的一面受到木星的引力会大于远离木星一面受到的引力，而这个差值会随着靠近木星而变得越来越大。如果太靠近木星，这个引力差会太大，大到足以把地球撕碎，这个会把地球撕碎的临界距离就叫洛希极限。

当然了，上述并不是严格的推导过程，这里也不详细展开介绍。

影片中，最后紧张激烈的时刻就是要赶在地球和木星距离达到洛希极限之前成功点火，利用木星上的氢气和地球上的氧气充分混合后点燃发生的爆炸，把地球弹开。但是无奈的是，达到洛希极限之前，点火距离都不够引燃木星上的氢气，地球面临被撕碎的危险。最后刘培强只能选择用空间站冲向木星，引燃木星上的氢气。

值得一提的是，洛希极限分为刚体洛希极限和流体洛希极限，如果环绕着运动的卫星是流体，由于流体会被潮汐力拉长，导致卫星并不会呈一个完整的球形，而是一个椭球形，那么洛希极限就会变得更大。这里引用一下维基百科中的公式：

设洛希极限为$d$。

对于一个完全刚体、圆球形的卫星，假设其物质都是因为重力才合在一起的，且所环绕的行星亦是圆球形，并忽略其他因素如潮汐变形及自转。

$$d = R\left(2 \times \dfrac{\rho_M}{\rho_m}\right)^{1/3} \approx 1.260R\left(\dfrac{\rho_M}{\rho_m}\right)^{1/3}$$

其中$R$是卫星所环绕的星体的半径，$\rho_M$是该星体的密度，$\rho_m$是卫星的密度。

对于是流体的卫星，潮汐力会拉长它，令它变得更易碎裂。

$$d \approx 2.423R\left(\dfrac{\rho_M}{\rho_m}\right)^{1/3}$$

我们可以查出木星和地球的平均密度分别为$\rho_\text{木}=1330\text{ kg/m}^3$，$\rho_\text{地}=5515\text{ kg/m}^3$。带入公式计算出：

$$\begin{aligned} d_\text{刚} & \approx 1.260R_\text{木}(\dfrac{\rho_\text{木}}{\rho_\text{地}})^{1/3} \approx 1.260 \times R_\text{木} \times (\dfrac{1330}{5515})^{1/3} \approx 0.784R_\text{木}\\ d_\text{流} & \approx 2.423R_\text{木}(\dfrac{\rho_\text{木}}{\rho_\text{地}})^{1/3} \approx 2.423 \times R_\text{木} \times (\dfrac{1330}{5515})^{1/3} \approx 1.508R_\text{木} \end{aligned}$$

当进入流体洛希极限时，地球上的气体会开始被抽离，木星上的氢气和地球上的氧气开始混合。进入刚体洛希极限时，地壳才开始会被撕裂。而上面的计算结果表明：

$$d_\text{流} > R_\text{木} > d_\text{刚}$$

实际上，刚体洛希极限比木星的半径要小。换句话说，还未进入刚体洛希极限，地球就已经进入木星内部了。

我们引用一下维基百科中的结论：

如果一个刚体卫星的密度是所环绕的星体的密度两倍以上（例如一个巨大的气体行星跟刚体卫星)，$d<R$，洛希极限会在所环绕的星体之内，即是说这个卫星永远都不会因为所环绕的星体的引力而碎裂。

木星是气体行星，而地球是刚体行星，这个结论也和我们的推断一致。

而《流浪地球1》中给出的数据，其实是$d_\text{流} > d_\text{刚} > R_\text{木}$，这样才会有地球在撞上木星之前就被木星撕裂的危险。这和我们计算出来的结果不同。考虑到《流浪地球1》是科幻电影，我们也不必过多在意。